第3讲 平面向量
高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级,只有平面向量的应用为A级要求,平面向量的数量积为C级要求.主要考查:(1)平面向量的基本定理及基本运算,多以熟知的平面图形为背景进行考查,填空题难度中档;
(2)平面向量的数量积,以填空题为主,难度低;(3)向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现.
真 题 感 悟
1.(2015·江苏卷)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.
??2m+n=9,
解析 ∵a=(2,1),b=(1,-2),∴ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),即?
?m-2n=-8,???m=2,
解得?故m-n=2-5=-3.
?n=5,?
答案 -3
→→→→→2.(2017·江苏卷)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的→→→→→
夹角为α,且tan α=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=________.
→→→→
解析 如图,设OD=mOA,DC=nOB,则在△ODC中有OD=m,DC=n,OC=2,∠OCD=45°,
由tan α=7,得cos α=又由余弦定理知
2
, 10
?m2=n2+(2)2-22ncos 45°,
?22
2
?n=m+(2)-22mcos α,
1 / 14
m-n=2-2n, ①??
即?22 2
n-m=2-m, ②?5?
2772
①+②得4-2n-m=0,即m=10-5n,代入①得12n-49n+49=0,解得n=或n=,
543775775
当n=时,m=10-5×=-<0(不合题意,舍去),当n=时,m=10-5×=,故m+n33344457
=+=3. 44答案 3
→→
3.(2016·江苏卷)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA→→→→
=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值是________.
22
→→→→
解析 设AB=a,AC=b,则BA·CA=(-a)·(-b)=a·b=4. 又∵D为BC中点,E,F为AD的两个三等分点, 11→1→→
则AD=(AB+AC)=a+b,
222→→
AF=AD=a+b, AE=AD=a+b,
1→136
1
6
2→1331
3
1121→→→
BF=BA+AF=-a+a+b=-a+b,
33331112→→→
CF=CA+AF=-b+a+b=a-b,
3333→→?21??12?则BF·CF=?-a+b?·?a-b?=
?33??33?222252225
-a-b+a·b=-(a+b)+×4=-1. 999992922
可得a+b=. 2
1151→→→
又BE=BA+AE=-a+a+b=-a+b,
66661115→→→
CE=CA+AE=-b+a+b=a-b,
6666
2 / 14
→→?51??15?则BE·CE=?-a+b?·?a-b?
?66??66?
52226529267=-(a+b)+a·b=-×+×4=.
36363623687答案
8
4.(201