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6.2 垂直关系的性质
1.已知直线l垂直于△ABC的两边AB,AC,直线m垂直于△ABC的两边BC,BA,则直线l,m的位置关系是 A.异面 C.相交 答案:B
2.已知平面α,β,γ,直线a,b,则下列命题正确的是( ) A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γ B.α∥β,β⊥γ,则α⊥γ
C.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥b D.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α
解析:选项A中α,γ可以相交;选项C中,如图所示,a与b不一定垂直;选项D中,b仅垂直于α内的一条直线a,不能判定b⊥α.
( ) B.平行 D.不确定
答案:B
3.已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则( ) A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直
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解析:若α⊥β,α∩β=l,则垂直于β的平面可以与α相交,故选项A错误;当直线在β内,且垂直于交线l时,才垂直于平面α,故选项B错误;垂直于β的平面可以与l相交,故C项错误;由面面垂直的判定定理可知D项正确. 答案:D
4.若P为△ABC所在平面外的一点,且PA,PB,PC两两垂直,有下列命题,则其中真命题的个数是( )
①PA⊥BC;②AB⊥BC;③P在平面ABC上的射影为△ABC的内心.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:PA⊥PB,PA⊥PC?PA⊥面PBC,∴PA⊥BC,即①为真命题;
同理PC⊥AB,若AB⊥BC,则AB⊥面PBC,PA∥AB,矛盾,即②为假命题;
设点P在面ABC上的射影为点H,易证AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB,所以点H为△ABC的垂心,即
③为假命题.
答案:B 5.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是( ) A.线段B1C B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段 D.BC中点与B1C1中点连成的线段 答案:A
6.已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,给出如下四个论断:①m⊥α;②n∥β;③α⊥β;④m∥n.现以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,请写出其中一个正确的命题 . 配套K12学习（小初高）
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解析:由m⊥α,m∥n可知n⊥α,结合n∥β,可得α⊥β. 答案:①②④?③ 7.
如图所示,三棱锥A-BCD是长方体木料的一角,现欲从顶点A沿着底面BCD的垂线方向钻孔,则出口位置是△BCD的 (填“重心”“垂心”“内心”或“外心”).
解析:由于三棱锥A-BCD的顶点A所在的三个角都为直角,过点A作AO垂直于底面BCD,则点O为△BCD的垂心. 答案:垂心
★8.在空间四边形ABCD中,△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形,且平面ABD⊥平面CBD,E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,则四边形EFGH的面积是 . 解析:
依题意,作出如右示意图,
取BD的中点为O,连接AO,CO,
因为△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形, 所以AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,
所以BD⊥平面AOC,AC?平面AOC,所以BD⊥AC. 因为E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,
所以EF??GH??BD,FG??EH??AC. 配套K12学习（小初高）